题目内容

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．

（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N 的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.

（1）＋y2＝1 ；(2) ∠EF2F是锐角；(3)线段OT的长度为定值2.

解析试题分析：（1）因为椭圆C的离心率e＝，故设a＝2m，c＝m，则b＝m,直线A2B2方程为 bx ay ab＝0,所以＝，解得m＝1,故椭圆方程为＋y2＝1； (2)联立椭圆和直线方程解出交点坐标E(，)，F( ， ) ，根据向量数量积为正可判断∠EF2F是锐角；(3)由（1）可知A1(0，1)A2(0，1),设P(x0，y0), 直线PA1：y 1＝x，令y＝0,得xN＝ ，直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝，接下来有两种方法，解法一，设圆G的圆心为( ( )，h),利用圆的方程和勾股定理求解；解法二，OM·ON＝|( )·|＝，利用切割线定理得求解.
试题解析：（1）因为椭圆C的离心率e＝，
故设a＝2m，c＝m，则b＝m．
直线A2B2方程为 bx ay ab＝0，
即mx 2my 2m2＝0．
所以＝，解得m＝1．
所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1．                        5分
由得E(，)，F( ， )．            .7分
又F2(，0)，所以＝( ，)，＝(  ， )，
所以·＝( )×(  )＋×()＝＞0．
所以∠EF2F是锐角．                                        10分
（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0， 1),设P(x0，y0),
直线PA1：y 1＝x，令y＝0,得xN＝ ；
直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；              12分
解法一:设圆G的圆心为( ( )，h),
则r2＝[ ( ) ]2＋h2＝ (＋)2＋h2．
OG2＝ (

练习册系列答案
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设向量
（1）若，求的值
（2）设函数，求的取值范围

已知在同一平面内，且.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求与的夹角.

如图，设是单位圆上一点，一个动点从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.秒时，动点到达点，秒时动点到达点.设，其纵坐标满足.

（1）求点的坐标，并求；
（2）若，求的取值范围.

已知向量函数的第个零点记作（从小到大依次计数），所有组成数列．
（1）求函数的值域；
（2）若，求数列的前100项和.


（1）求
（2）.

已知，其中向量，，.在中，角A、B、C的对边分别为，，.
(1)如果三边，，依次成等比数列，试求角的取值范围及此时函数的值域；
(2) 在中，若， ，求的面积.

已知是一个平面内的三个向量，其中=（1，2）
（1）若||＝，∥，求及·.
（2）若||＝，且＋2与3－垂直，求与的夹角.

已知,,当为何值时，
(1) 与垂直？
(2) 与平行？平行时它们是同向还是反向？

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