Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面 平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．

（Ⅰ）求证：平面 平面；

（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；

（Ⅱ）先证明，，两两垂直，再以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，用表示出平面的法向量，进而表示出，由，即可得出结果.

解：（Ⅰ） 四边形是正方形，∴.

∵平面 平面平面平面，∴平面.

∵平面，∴.

∵，点为线段的中点，∴.

又∵，∴平面.

又∵平面，∴平面 平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.

在平面内过作交于点，

∴，故，，两两垂直，以为原点，

以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.

因为，，∴.

∵平面， 则，，

又为的中点，，

假设在线段上存在这样的点，使得,设，，，

设平面的法向量为， 则

∴，令，则，则

平面，平面的一个法向量,,则

∴.

，解得，∴