Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线（θ为参数），将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线，以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．

（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；

（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求此最小值．

Answer 1

【答案】（1）的极坐标方程为， 的参数方程是（是参数）；（2）），最小值是．

【解析】试题分析：（1）先将的参数方程化为普通方程，从而得到的极坐标方程；先根据函数图象的伸缩变换规律得到曲线的普通方程，从而得到的参数方程；（2）先求得直线的普通方程，再利用点到直线的距离公式表示出距离，然后利用三角函数的图象与性质求得最值．

试题解析：（1）由已知得曲线的普通方程是，所以的极坐标方程为．

根据已知的伸缩变换得曲线的普通方程是，

所以曲线的参数方程是（是参数）．

（2）设，直线的普通方程是，

点到直线的距离．

当，即时， ，

此时点的坐标是，

所以曲线上的一点）到直线的距离最小，最小值是．