Question

【题目】已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)设， 是曲线图象上的两个相异的点，若直线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

(3)设函数有两个极值点， ，且，若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）当时，求得的解析式，分别解可得函数的单调增区间和单调减区间；（2） 在上单调递增，由在恒成立，求的取值范围；（3）由是方程的根可得，用表示，令，则，构造函数，求的导数，研究其单调性得在上单调递减， ，可求得的范围。

（1），

令或，

的单调增区间为；单调减区间为.

即，所以，

令在上单调递增，

∴，对恒成立，

,对恒成立，

又 ，当时取等号，

，故.

（3），因为函数有两个极值点，所以是方程的两个根，即，所以是方程的两个根，

所以有，

∴

令，则，设，

∴，

∴在上单减，∴，

故.