Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数），

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的单调递增区间为；单调递减区间为；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）对函数f(x)求导， ，代入x=1,可求得，切点坐标再点斜式可求切线方程。(2)定义域因为又得，可得单调区间。（3）， 等价于在时恒成立，由（2）知,当时， 的最大值，即证。

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为,

由，得，∴点A的坐标为.

，所以，

所以曲线点A处的切线方程为

（Ⅱ），所以

令得，因此当时， 单调递增；

当时， 单调递减.

所以的单调递增区间为；单调递减区间为.

（Ⅲ）证明：因为，所以， 等价于在时恒成立,

由（Ⅱ）知,当时， 的最大值，

故，

因为时，

所以，

因此任意， .