Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D；抛物线上的点T（2，t）（t＞0）到焦点的距离为3．
（1）求p、t的值；
（2）当四边形ACBD的面积取得最小值时，求直线AB的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线的定义求出p、代入点的坐标代入抛物线方程求出t的值；
（2）利用抛物线方程求出AB的距离CD的距离，表示出四边形ACBD的面积，利用基本不等式求出面积的最小值，并且求出直线AB的斜率．

解答： 解：（1）有抛物线的定义可知点T（2，t），（t＞0）到抛物线的准线的距离为3，
即有2+

p

2

=3可得P=2，将T（2，t）代入y²=4x
得t=2

2

．
（2）∵F（1，0），故设直线AB的方程为：x=my+1（m＜0），
联立抛物线方程y²=4x，消元可得：y²-4my-4=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=m（y₁+y₂）+4=4m•m+4=4（m²+1）．
∵CD⊥AB，∴CD直线的方程为：x=-

1

m

y+1，
同理|CD|=4[（-

1

m

）²+1]
从而S_{四边形ABCD}=

1

2

|AB||CD|=

1

2

•16•(m2+1)(

1

m2

+1)
=8(2+m2+

1

m2

)≥8(2+2

m2• 1 m2

)
=32．（当m=-1时取等号）．
因此四边形ABCD的面积的最小值为32，此时直线AB的斜率为-1．

点评：本题主要考查了抛物线方程的求法，抛物线的定义域的应用，直线与抛物线的位置关系，弦长公式的应用，四边形面积的求法以及基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．