Question

4．已知数列{a_n}满足a_n＞0，a₁=2，且（n+1）a_n+1²=na_n²+a_n（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：a_n＞1；
（Ⅱ）证明：$\frac{{a}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{9}$+…+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜$\frac{9}{5}$（n≥2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推关系可得（n+1）（a_n+1+1）（a_n+1-1）=（a_n-1）（na_n+n+1），再根据a_n＞0，可得a_n+1-1与a_n-1同号，问题得以证明，
（Ⅱ）先判断出1＜a_n≤2，再得到a_n²≤$\frac{2n+2}{n}$，n≥2，利用放缩法得到$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$≤2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），再分别取n=2，3，以及n≥4即可证明．

解答 证明：（Ⅰ）由题意得（n+1）a_n+1²-（n+1）=na_n²-n+a_n-1，
∴（n+1）（a_n+1+1）（a_n+1-1）=（a_n-1）（na_n+n+1），
由a_n＞0，n∈N*，
∴（n+1）（a_n+1+1）＞0，na_n+n+1＞0，
∴a_n+1-1与a_n-1同号，
∵a₁-1=1＞0，
∴a_n＞1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）a_n+1²=na_n²+a_n＜（n+1）a_n²，
∴a_n+1＜a_n，1＜a_n≤2，
又由题意可得a_n=（n+1）a_n+1²-na_n²，
∴a₁=2a₂²-a₁²，a₂=3a₃²-2a₂²，…，a_n=（n+1）a_n+1²-na_n²，
相加可得a₁+a₂+…+a_n=（n+1）a_n+1²-4＜2n，
∴a_n+1²≤$\frac{2n+4}{n+1}$，即a_n²≤$\frac{2n+2}{n}$，n≥2，
∴$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$≤2（$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{3}}$）≤2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），n≥2，
当n=2时，$\frac{{a}_{2}^{2}}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$＜$\frac{9}{5}$，
当n=3时，$\frac{{a}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{9}$≤$\frac{3}{4}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}$＜$\frac{3}{4}$$+\frac{1}{3}$＜$\frac{9}{5}$，
当n≥4时，$\frac{{a}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{9}$+…+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{27}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）=1+$\frac{2}{9}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{27}$+$\frac{1}{12}$＜$\frac{9}{5}$，
从而，原命题得证

点评 本题考查了数列的递推关系和数列和不等式的问题，关键是放缩，考查了学生的解决问题的能力和和观察能力，属于难题．