Question

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知$\frac{c}{cosC}$=$\frac{4a-b}{cosB}$
（1）求cosC的值；
（2）若c=$\sqrt{3}$，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinA=4sinAcosC，结合sinA＞0，即可得解cosC的值．
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形面积公式可求ab=2，由余弦定理可得a²+b²=4，联立即可解得a，b的值．        …（10分）

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵ccosB=（4a-b）cosC，
由正弦定理，得sinCcosB=（4sinA-sinB）cosC…（1分）
化简，得sin（B+C）=4sinAcosC﹒…（3分）
∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）﹒
又∵A∈（0，π），
∵sinA＞0，
∴$cosC=\frac{1}{4}$．             …（5分）
（2）∵C∈（0，π），$cosC=\frac{1}{4}$，
∴$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．  …（6分）
∵$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，∴ab=2﹒①
∵$c=\sqrt{3}$，由余弦定理得：3=a²+b²-$\frac{1}{2}$ab，…（8分）
∴a²+b²=4，②
由①②，得a⁴-4a²+4=0，从而a²=2，可得：$a=±\sqrt{2}$（舍负），
所以，可得：$b=\sqrt{2}$，
∴$a=b=\sqrt{2}$．                                         …（10分）

点评 本题主要考查了正余弦定理，两角和正弦公式及诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．