Question

20．已知椭圆$γ：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$（常数a＞1）的左顶点为R，点A（a，1），B（-a，1），O为坐标原点．（1）设a=2，Q是椭圆γ上任意一点，S（6，0），求$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}$的最小值；
（2）若P是椭圆γ上任意一点，$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，求m²+n²的值．

Answer 1

分析 （1）设出点Q的坐标，表示出$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}$，转化为二次函数即可求解；（2）由题意，用m，n表示出点P的坐标，代入椭圆方程即可．

解答 解：（1）当a=2时，有R（-2，0），A（2，1），B（-2，1），
设点Q（x₀，y₀），则$\overrightarrow{QS}=（6-{x}_{0}，-{y}_{0}），\overrightarrow{QR}=（-2-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，
∴$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}{{=x}_{0}}^{2}{{+y}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-12$，
又点Q在椭圆上，∴${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$代入上式得：$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}=\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-11$，x₀∈[-2，2]，
∵函数$y=\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-11$在区间[-2，2]上为增函数，
∴当x₀=-2时函数取最小值，且最小值为-16．
即$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}$的最小值为-16．
（2）由题意知$\overrightarrow{OA}=（a，1），\overrightarrow{OB}=（-a，1）$，
∴$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}=（ma-na，m+n）$，
即点P（ma-na，m+n），
又点P在椭圆上，
∴$\frac{{（ma-na）}^{2}}{{a}^{2}}{+（m+n）}^{2}=1$，
化简得2（m²+n²）=1，
∴${m}^{2}+{n}^{2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的一个简单的综合问题，正确转化是解决本题的关键．第一问中求最值问题是一道比较常规也是比较经典的题型，利用函数方法是最常见的转化方法．本题还可以用椭圆的参数方程求解．