Question

已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，且过点（1，

4 2

3

），离心率e=

5

3

，若直线l过点M（-2，1），交椭圆C于A，B两点，且点M恰是线段AB的中点，求直线的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出椭圆的方程，根据离心率及椭圆过P求出待定系数，即得椭圆的方程．然后利用点差法求出直线的斜率即可得直线方程．

解答： 解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵椭圆C的离心率为e=

5

3

，∴

c

a

=

5

3

，c=

5

3

a，
∴b²=a²-c²=

4

9

a2，
∵椭圆过点（1，

4 2

3

），∴

1

a2

+

32

9b2

=1，解得a²=9，∴b²=4，
故椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

4

=1；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-2，1）是线段AB的中点，
所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，

x12 9 + y12 4 =1 x22 9 + y22 4 =1

，
两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
所以

y1-y2

x1-x2

=kAB=

8

9

，
所以直线AB的方程为y-1=

8

9

（x+2），即8x-9y+25=0．

点评：本题考查了待定系数法求椭圆的方程以及利用点差法求直线方程，计算过程要细心．