Question

18.如图，椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心为M（0，r）（b＞r＞0）.

（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

（Ⅱ）直线y=k₁x交椭圆于两点C（x₁,y₁），D（x₂,y₂）（y₂＞0）；直线y=k₂x交椭圆于两点G（x₃,y₃）,H（x₄,y₄）（y₄＞0）.

求证：=；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.

求证：|OP|=|OQ|.

（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

Answer 1

18.（Ⅰ）解：椭圆方程为+=1.

焦点坐标为F₁（－,r）,F₂（,r）,

离心率e=.

 

（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程，得b²x²+a²（k₁x－r）²=a²b²,

 

整理得（b²+a²k₁²）x₂－2k¹a²rx+（a²r²－a²b²）=0.

 

根据韦达定理，得x₁+x₂=,x₁x₂=

所以=                                   ①

将直线GH的方程y=k₂x代入椭圆方程，同理可得

=.                                         ②

 

由①，②得==.

所以结论成立.

 

（Ⅲ）证明：设点P（p,0）,点Q（q,0）.

由C，P，H共线，得=,

解得p=.

由D，Q，G共线，同理可得q=.

 

由=变形得－=,

 

即－=.

所以|p|=|q|,

即|OP|=|OQ|.