Question

（2006•海淀区一模）如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于P点，若点D满足

FD

=

DP

，

AB

=λ

AD

（λ≠0），
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的长轴长等于4，Q是椭圆右准线l上异于点A的任意一点，A₁，A₂分别是椭圆的左、右顶点，直线QA₁、QA₂与椭圆的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN与x轴交于定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆方程得到A，F，B，P的坐标，由已知向量等式得到D为FP的中点，且D在线段AB上，写出直线AB的方程，代入D点坐标后即可求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线QA₁和QA₂的斜率分别为k₁，k₂，写出两直线方程，分别和椭圆方程联立后求出M和N的坐标，由两点式写出直线MN的方程，由Q点的纵坐标相等得到两斜率的关系，在MN的方程中取y=0得到x为定值，则答案可求．

解答：（Ⅰ）解：∵椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴A（

a2

c

，0），F（c，0），B（0，b），P（c，

b2

a

），
∵

FD

=

DP

，∴D为FP的中点，∴D（c，

b2

2a

）．
∵

AD

=λ

DB

，∴D在线段AB上，
∵直线AB的方程为：

x

a2 c

+

y

b

=1．
∴c•

c

a2

+

1

b

•

b2

2a

=1，化简得：3a²=4c²，∴e=

3

2

；
（Ⅱ）直线MN与x轴交于定点（

3

，0）．
证明：∵椭圆的长轴长等于4，∴a=2，b=1，c=

3

．
设直线QA₁和QA₂的斜率分别为k₁，k₂，则
由

x2+4y2-4=0 y=k1(x+2)

，得(1+4k12)x2+16k12x+16k12-4=0．
解得：xM=

2-8k12

1+4k12

，yM=

4k1

1+4k12

．
由 

x2+4y2-4=0 y=k2(x-2)

，得(1+4k22)x2-16k22x+16k22-4=0
解得xN=

8k22-2

1+4k22

，yN=-

4k2

1+4k22

．
直线MN的方程为

y-yN

yM-yN

=

x-xN

xM-xN

，令y=0
得x=

xN•yM-xM•yN

yM-yN

，化简得x=2×

k2-k1

k1+k2

．
∴yQ=k1(

4

3

+2)=k2(

4

3

-2)
∴

k1

k2

=7-4

3

．

k2-k1

k1+k2

=-

k1 k2 -1

k1 k2 +1

=

3

2

．
x=2×

3

2

=

3

．
即直线MN与x轴交于定点（

3

，0）．

点评：本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了向量在解题中的应用和一元二次方程的解法，考查了学生应对繁杂计算的能力，属压轴题．