Question

如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c₁和2c₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a₁+c₁=a₂+c₂；②a₁-c₁=a₂-c₂；③c₁a₂＞a₁c₂；④

c1

a1

≤

c2

a2

．
其中正确式子的序号是

②③

．

Answer 1

分析：根据图象可知a₁＞a₂，c₁＞c₂，进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可．可知a₁+c₁＞a₂+c₂；

c1

a1

＞

c2

a2

，进而判断①④不正确．③正确；根据a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|可知a₁-c₁=a₂-c₂；

解答：解：由图可知a₁＞a₂，c₁＞c₂，∴a₁+c₁＞a₂+c₂，∴①不正确，
∵a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|，∴a₁-c₁=a₂-c₂，∴②正确．
a₁+c₂=a₂+c₁，可得（a₁+c₂）²=（a₂+c₁）²，
a₁²-c₁²+2a₁c₂=a₂²-c₂²+2a₂c₁，
即b₁²+2a₁c₂=b₂²+2a₂c₁，
∵b₁＞b₂，∴c₁a₂＞a₁c₂，∴③正确；
此时

c1

a1

＞

c2

a2

，∴④不正确．
故答案为：②③．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．以及不等式的性质的应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．