Question

8．二项式${（{2\sqrt{x}-\frac{1}{x}}）^6}$的展开式中所有有理项的系数和等于365（用数字作答）．

Answer 1

分析 二项式${（{2\sqrt{x}-\frac{1}{x}}）^6}$的展开式中T_r+1=2^6-r（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，分别令r=0，2，4，6时，即可得出．

解答 解：二项式${（{2\sqrt{x}-\frac{1}{x}}）^6}$的展开式中T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（2\sqrt{x}）^{6-r}$$（-\frac{1}{x}）^{r}$=2^6-r（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
分别令r=0，2，4，6时，可得：T₁=${2}^{6}{∁}_{6}^{0}{x}^{3}$=64x³，T₃=${2}^{4}（-1）^{2}{∁}_{6}^{2}$x⁰=240，T₅=${2}^{2}（-1）^{4}{∁}_{6}^{4}\frac{1}{{x}^{3}}$=60，T₇=${2}^{0}（-1）^{6}{∁}_{6}^{6}\frac{1}{{x}^{6}}$=1．
所有有理项的系数和=64+240+60+1=365．
故答案为：365．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．