Question

已知正项等比数列{a_n}满足S₈=17S₄，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，则

1

m

+

5

n

的最小值为（　　）

• A、

  7

  4

• B、1+

  5

  3

• C、

  25

  6

• D、

  2 5

  3

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：先利用等比数列的前n项和公式求出q的值，再利用不等式的基本性质即可求出其最小值．

解答： 解：经验证q=1不成立，∴q＞0且q≠1．
∵S₈=17S₄，∴利用等比数列的求和公式可化为q⁸-17q⁴+16=0，解得q⁴=1或16．
又q＞0且q≠1，∴q=2．
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，∴

a1qm-1×a1qn-1

=4a₁，m+n=6．
∴

1

m

+

5

n

=

1

6

（

1

m

+

5

n

）（m+n）=

1

6

（6+

n

m

+

5m

n

）≥1+

5

3

，当且仅当

n

m

=

5m

n

时取等号．
则

1

m

+

5

n

的最小值是1+

5

3

．
故选B．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式及不等式的基本性质是解题的关键．