Question

7．已知一个口袋中装有黑球和白球共7个，这些球除颜色外完全相同，从中任取2个球都是白球的概率为$\frac{1}{7}$．现有甲、乙两人轮流、不放回地从口袋中取球，每次取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，直到口袋中的球取完为止．若取出白球，则记2分；若取出黑球，则记1分．每个球在每一次被取出是等可能的．用ξ表示甲、乙最终得分差的绝对值．
（1）求口袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）设口袋中原有n个白球，由题意列出方程求出n的值；
（2）分析甲4次取球的可能情况及相应的分数之和，得出与之对应的乙的取球情况及相应的分数之和，写出随机变量ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．

解答 解：（1）设口袋中原有n个白球，由题意知，
$\frac{1}{7}$=$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$，
化简得n²-n-6=0，
解得n=3或n=-2（不合题意，舍去），
所以口袋中原有白球3个；
（2）由（1）知，口袋中有3个白球，4个黑球，
甲4次取球的可能情况是4个黑球，3黑1白，2黑2白，1黑3白；
相应的分数之和为4分，5分，6分，7分；
与之对应的乙的取球情况是3个白球，2白1黑，1白2黑，3黑；
相应的分数之和为6分，5分，4分，3分；
所以随机变量ξ的可能取值为0，2，4；
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{4}{+C}_{4}^{2}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{19}{35}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
∴ξ的概率分布为

ξ	0	2	4
P	$\frac{12}{35}$	$\frac{19}{35}$	$\frac{4}{35}$

数学期望为E（ξ）=0×$\frac{12}{35}$+2×$\frac{19}{35}$+4×$\frac{4}{35}$=$\frac{54}{35}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．