题目内容
已知函数
，
.
(I)求函数
的单调区间；
(Ⅱ)当
时，函数
恒成立，求实数
的取值范围；
(Ⅲ)设正实数
满足
，求证：
．
当
时，只有单调递增区间
;当
时，单调递增区间为
，
,单调递减区间为
.
;
详见解析.
解析试题分析：先求出
的导数，讨论，利用导数的正负与函数单调性得关系求出单调区间；当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立转化为>0恒成立.结合第问讨论的单调区间得出的范围；结合第问，令
，
，所以
，再利用柯西不等式，
，其中由条件
.最后得证.
试题解析：（Ⅰ）易知
,定义域是.
1分
由
的判别式
①当
即
时，
恒成立，则在单调递增 2分
②当
时，
在恒成立，则在单调递增 3分
③当时，方程的两正根为
则在单调递增，单调递减，单调递增
综上，当时，只有单调递增区间
当时，单调递增区间为，
单调递减区间为 5分
（Ⅱ）即时，
恒成立
当时，在单调递增 ∴当时，
满足条件 7分
当时，在单调递减
则在
单调递减
此时
不满足条件
故实数的取值范围为 9分
（Ⅲ）由（2）知，
在
恒成立
令 则 
10分
∴
11分
又
其中
∴
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练习册系列答案
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（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为
平方米，且高度不低于
米．记防洪堤横断面的腰长为
（米），外周长（梯形的上底线段
与两腰长的和）为
（米）.
米，则其腰长
的解集为
，求实数
的值；
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围.
的奇函数
满足
，且当
时， 
．
上的解析式；
取何值时，方程
在
上有解？
，
．
的解集；
的不等式
在
的取值范围．
＞
成立，则称函数
lnx是J函数时，求m的取值范围；
g（1）的大小；
.
在
上单调性并证明你的结论；
恒成立, 求整数
的最大值；
.
的奇偶性；
上是增函数还是减函数？证明你的结论.