Question

4．已知等比数列{a_n}的首项为$\frac{3}{2}$，公比为-$\frac{1}{2}$，前n项和为S_n，则当n∈N^*时，S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$的最大值与最小值之和为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据等比数列的求和公式求出S_n，分n为奇数或偶数计算出S_n的范围，从而得出S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$的最大值与最小值．

解答 解：S_n=$\frac{\frac{3}{2}（1-（-\frac{1}{2}）^{n}）}{1+\frac{1}{2}}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
（1）当n为奇数时，S_n=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，∴1＜S_n≤$\frac{3}{2}$，
（2）当n为偶数时，S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，∴$\frac{3}{4}$≤S_n＜1．
∴对于任意n∈N^*，$\frac{3}{4}$≤S_n≤$\frac{3}{2}$．
令S_n=t，f（t）=t-$\frac{1}{t}$，则f（t）在[$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]上单调递增，
∴f（t）的最小值为f（$\frac{3}{4}$）=-$\frac{7}{12}$，f（t）的最大值为f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{5}{6}$，
∴S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$的最小值为-$\frac{7}{12}$，最大值为$\frac{5}{6}$，
∴S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$的最大值与最小值之和为-$\frac{7}{12}$+$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的求和公式，以及数列的函数的特征，属于中档题．