Question

已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足：对任意x，y∈R有f（x-y）=f（x）g（y）-f（y）g（x）且f（1）≠0．若f（1）=f（2），则g（-1）+g（1）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用已知条件判断函数的奇偶性，通过f（2）=f[1-（-1）]求出结果．

解答： 解：令x=u-v，
则f（-x）=f（v-u）=f（v）g（u）-g（v）f（u）=-[f（u）g（v）-g（u）f（v）]=-f（x）
∴f（x）为奇函数．
f（2）=f[1-（-1）]=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）
=f（1）g（-1）+g（1）f（1）=f（1）[g（-1）+g（1）]．
又∵f（2）=f（1）≠0，
∴g（-1）+g（1）=1．
故答案为：1．

点评：本题考查抽象函数的应用，赋值法以及函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．