Question

已知函数f（x）=（x-2）（x+a），其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的对称轴，得到

2-a

2

=1，解出即可；（Ⅱ）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而得到答案．

解答： （Ⅰ）解法一：因为f（x）=（x-2）（x+a）=x²+（a-2）x-2a，
所以，f（x）的图象的对称轴方程为x=

2-a

2

．
由

2-a

2

=1，得a=0．
解法二：因为函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
所以必有f（0）=f（2）成立，
所以-2a=0，得a=0．
（Ⅱ）解：函数f（x）的图象的对称轴方程为x=

2-a

2

．
①当

2-a

2

≤0，即 a≥2时，
因为f（x）在区间（0，1）上单调递增，
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=-2a．
②当0＜

2-a

2

＜1，即 0＜a＜2时，
因为f（x）在区间(0，

2-a

2

)上单调递减，在区间(

2-a

2

，1)上单调递增，
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f(

2-a

2

)=-(

2+a

2

)2．
③当

2-a

2

≥1，即 a≤0时，
因为f（x）在区间（0，1）上单调递减，
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=-（1+a）．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道中档题．．