Question

已知f（x）=|x+2|-|x-4|．（x∈R）
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若关于x的不等式f（x）≥m的解集是非空集合，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）不等式即|x+2|≥|x-4|，平方可得（x+2）²≥（x-4）²，由此求得不等式的解集．
（2）由题意可得f（x）的最大值大于或等于m，而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为6，从而求得m的范围．

解答： 解：（1）不等式 f（x）=|x+2|-|x-4|≥0，即|x+2|≥|x-4|，平方可得（x+2）²≥（x-4）²，
求得 x≥1，故不等式的解集为[1，+∞）．
（2）若关于x的不等式f（x）≥m的解集是非空集合，则f（x）的最大值大于或等于m．
而f（x）表示数轴上的x对应点到-2对应点的距离减去它到4对应点的距离，f（x）的最大值为6，
∴m≤6，即m的范围为（-∞，6]．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，属于基础题．