Question

9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）与y轴的交点为（0，1），且图象上两对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$，则使f（x+t）-f（-x+t）=0成立的|t|的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由题意：函数f（x）与y轴的交点为（0，1），坐标带入求出φ，两对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$可得周期为π．求得函数f（x）解析式，再求f（x+t）-f（-x+t）=0讨论t最小值．

解答 解：由题意：函数f（x）与y轴的交点为（0，1），可得：1=2sinφ，sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
两对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$可得周期T=π，即$\frac{2π}{ω}=π$，解得：ω=2．
所以：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由f（x+t）-f（-x+t）=0，
可得：函数图象关于x=t对称．求|t|的最小值即可是求对称轴的最小值，
∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的对称轴方程为：2x+$\frac{π}{6}$=$πk+\frac{π}{2}$（k∈Z），
可得：x=$\frac{π}{6}$时最小，
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的图象及性质的运用能力．本题的关键是f（x+t）=f（-x+t）可得函数关于x=t对称．