Question

私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	6	9	6	3	4

（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由已知求出各组的频率和纵坐标，由此能作出被调查人员的频率分布直方图．
（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，由此利用互斥事件概率计算公式能求出恰有2人不赞成的概率．
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：
0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
∴图中各组的纵坐标分别是：
0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，
由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：
（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，
不赞成的有1人，
年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，
∴恰有2人不赞成的概率为：
P（ξ=2）=

C 1 4

C 2 5

•

C 1 4 • C 1 6

C 2 10

+

C 2 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

22

75

．…（7分）
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，…（6分）
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 5

•

C 2 6

C 2 10

=

15

75

，
P（ξ=1）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 6

C 2 10

+

C 2 4

C 2 5

•

C 1 4 • C 1 6

C 2 10

=

34

75

，
P（ξ=3）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

4

75

，
所以ξ的分布列是：…（10分）

ξ	0	1	2	3
P	15 75	34 75	22 75	4 75

所以ξ的数学期望Eξ=

6

5

．…（12分）

点评：本题考查频率分布直方图的作法，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．