已知O为坐标原点.$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$.$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$.当△AOB为等边三角形时.|$\overrightarrow{AB}$|的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知O为坐标原点，$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，当△AOB为等边三角形时，|$\overrightarrow{AB}$|的值是（　　）

A．

$\frac{2\sqrt{6}}{9}$

B．

$\frac{4\sqrt{2}}{9}$

C．

$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

D．

$\frac{8}{3}$

分析设出$\overrightarrow{b}$=（x，y），利用坐标表示出$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$，当△AOB为等边三角形时，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，利用模长公式求出x、y的值，即可计算|$\overrightarrow{AB}$|的值．

解答解：设$\overrightarrow{b}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{a}$=（-1，1），
∴$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-1-x，1-y），
$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-1+x，1+y）；
当△AOB为等边三角形时，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
即$\sqrt{{（-1-x）}^{2}{+（1-y）}^{2}}$=$\sqrt{{（-1+x）}^{2}{+（1+y）}^{2}}$，
化简得x=y①；
又|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{b}$|，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，
∴$\sqrt{{（-1-x）}^{2}{+（1-y）}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$②；
把①代人②，解得x²=y²=$\frac{1}{3}$，
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选：C．

点评本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了向量模长的计算问题，是基础题目．