题目内容
2．已知各项均为正数的等差数列{an}满足：a4=2a2，且a1，4，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求同时满足下列条件的所有an的和：①20≤n≤116；②n能够被5整除．
分析 （1）根据题意，列出方程组，求出首项a1和公差d，写出通项公式即可；
（2）得出满足条件的n组成等差数列{bn}，求出{bn}的所有项的和，即可求出满足条件的所有an的和．
解答 解：（1）根据题意，等差数列{an}中，a4=2a2，且a1，4，a4成等比数列，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=2{（a}_{1}+d）}\\{{a}_{1}•{（a}_{1}+3d）=16}\end{array}\right.$，
解得a1=2，d=2；
∴数列{an}的通项公式为
an=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（2）∵an=2n，
且n同时满足：①20≤n≤116；②n能够被5整除，
∴满足条件的n组成等差数列{bn}，
且b1=20，d=5，bn=115，
∴项数为$\frac{115-20}{5}$+1=20；
∴{bn}的所有项的和为
S20=20×20+$\frac{1}{2}$×20×19×5=1350，
∴满足条件的所有an的和为
2S20=2×1350=2700．
点评 本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题，也考查了等差数列前n项和的应用问题，是综合性题目．
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