题目内容
定义平面向量之间的一种运算“?”如下，对任意的
=（m，n），
=（p，q），令
?
=mq-np，给出下面五个判断：①若
与
共线，则
?
=0；②若
与
垂直，则
?
=0；③
?
=
?
；④对任意的λ∈R，有
；⑤（
?
）2+2=|
|2|
|2其中正确的有 （请把正确的序号都写出）．
【答案】分析：①若
与
共线，则由向量共线的坐标表示可得，mq-np=0，而
?
=mq-np=0，从而可判断
②若
与
垂直，则由向量垂直的坐标表示可得，
，结合题目定义可判断
③由题目定义可得，
?
=mq-np，
?
=pn-mq，，从而可判断
④对任意的λ∈R，代入已知定义可判断
；
⑤（
?
）2+（
•
）2=（mq-np）2+（mp+nq）2，（m2+n2）（p2+q2）=
，从而可判断
解答：解：①若
与
共线，则由向量共线的坐标表示可得，mq-np=0，而
?
=mq-np=0，正确；
②若
与
垂直，则由向量垂直的坐标表示可得，
=mp+nq=0，而
?
=mq-np=0不一定成立，错误；
③由题目定义可得，
?
=mq-np，
?
=pn-mq，不一定相等，错误；
④对任意的λ∈R，
?
=λmq-λnp=λ（mq-np）=λ
?
正确
⑤（
?
）2+（
•
）2=（mq-np）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=
，正确
故答案为：①④⑤
点评：本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力．
与共线，则由向量共线的坐标表示可得，mq-np=0，而?=mq-np=0，从而可判断②若
与垂直，则由向量垂直的坐标表示可得，，结合题目定义可判断③由题目定义可得，
?=mq-np，?=pn-mq，，从而可判断④对任意的λ∈R，代入已知定义可判断
；⑤（
?）2+（•）2=（mq-np）2+（mp+nq）2，（m2+n2）（p2+q2）=，从而可判断解答：解：①若
与共线，则由向量共线的坐标表示可得，mq-np=0，而?=mq-np=0，正确；②若
与垂直，则由向量垂直的坐标表示可得，=mp+nq=0，而?=mq-np=0不一定成立，错误；③由题目定义可得，
?=mq-np，?=pn-mq，不一定相等，错误；④对任意的λ∈R，
?=λmq-λnp=λ（mq-np）=λ?正确⑤（
?）2+（•）2=（mq-np）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=，正确故答案为：①④⑤
点评：本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的
=(m，n)，
=(p，q)，令
⊙
=mq-np，下面说法错误的是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
A、若
| ||||||||||||
B、
| ||||||||||||
C、对任意的λ∈R，有(λ
| ||||||||||||
D、（
|
定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的
=(m，n)，
=(p，q)，令
*
=mq-np．给出以下四个命题：（1）若
与
共线，则
*
=0；（2）
*
=
*
；（3）对任意的λ∈R，有(λ
)*
=λ(
*
)（4）(
*
)2+(
•
)2=|
|2•|
|2．（注：这里
•
指
与
的数量积）则其中所有真命题的序号是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、（1）（2）（3） |
| B、（2）（3）（4） |
| C、（1）（3）（4） |
| D、（1）（2）（4） |