Question

已知函数f(x)＝m·2^x＋t的图象经过点A(1,1)，B(2,3)及C(n，S_n)，S_n为数列{a_n}的前n项和．

(1)求a_n及S_n；

(2)若数列{c_n}满足c_n＝6na_n－n，求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解析 　(1)∵函数f(x)＝m·2^x＋t的图象经过点A、B，

∴，∴，∴f(x)＝2^x－1，

∴S_n＝2ⁿ－1，∴a_n＝2^n－1.

(2)c_n＝3n·2ⁿ－n，T_n＝c₁＋c₂＋…＋c_n＝3×(1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n·2ⁿ)－(1＋2＋…＋n)，

令P_n＝1×2＋2×2²＋…＋n·2ⁿ                                      ①

则2P_n＝1×2²＋2×2³＋…＋n·2^n＋1                                 ②

①－②得－P_n＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1

＝－n·2^n＋1＝2^n＋1－2－n·2^n＋1，

∴P_n＝(n－1)2^n＋1＋2，

∴T_n＝3(n－1)2^n＋1＋6－.