Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥ax+

a

2

-

7

2

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）去绝对值，分三段：x＜-

1

2

，-

1

2

≤x≤3，x＞3写出表达式，判断各段的单调性，得到最小值；
（2）令g(x)=ax+

a

2

-

7

2

，画出f（x）、g（x）的图象，通过直线绕点（-

1

2

，-

7

2

）旋转观察，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得f(x)=

-x-4(x＜- 1 2 ) 3x-2(- 1 2 ≤x≤3) x+4(x＞3)

所以 f（x）在(-∞，-

1

2

)上单调递减，
在(-

1

2

，+∞)上单调递增．
所以当x=-

1

2

时y=f（x）取得最小值，
此时f(x)min=-

7

2

；
（2）由（1）及g(x)=ax+

a

2

-

7

2

，
可知y=g（x）恒过点过(-

1

2

，-

7

2

)，
由图象可知-1≤a≤1．

点评：本题考查绝对值函数的最值，注意写成分段函数的形式，讨论各段的单调性，从而求出最值，考查分段函数的图象和运用，不等式的恒成立问题转化为图象的位置关系，属于中档题．