Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

q

=（-1，2a），

p

=（2b-c，cosC）且

q

⊥

p

．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算和正弦定理、诱导公式可得cosA=

1

2

，即可得出；
（2）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式正弦函数单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵

q

⊥

p

，
∴-（2b-c）+2acosC=0，
根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
又0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（2）函数f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

=1-

2(cos2C-sin2C)

1+ sinC cosC

=1-2cos²C+2sinCcosC
=-cos2C+sin2C
=

2

sin(2C-

π

4

)，
∵0＜C＜

2π

3

，∴-

π

4

＜2C-

π

4

＜

13π

12

，∴-

2

2

＜sin(2C-

π

4

)≤1，
∴-1＜

2

sin(2C-

π

4

)≤

2

，
∴f（C）的值域是(-1，

2

]．

点评：本题考查了数量积运算和正弦定理、诱导公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、正弦函数单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．