题目内容
△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量
=（1，
），
=（sin2C，cos（A+B）），且
•
=0．
（Ⅰ）若a=4，c=
，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若A=
，cosB＞cosC，求
•
-2
•
-3
•
的值．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
（Ⅰ）若a=4，c=
| 13 |
（Ⅱ）若A=
| π |
| 3 |
| AB |
| BC |
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
考点：平面向量数量积的运算,正弦定理
专题：平面向量及应用
分析：（I）利用数量积运算、倍角公式、余弦定理即可得出；
（II）利用余弦函数的单调性、三角形的内角和定理可得B，C，利用直角三角形的边角关系、数量积定义即可得出．
（II）利用余弦函数的单调性、三角形的内角和定理可得B，C，利用直角三角形的边角关系、数量积定义即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）由
•
=0得sin2C+
cos(A+B)=0且A+B+C=π，
∴2sinCcosC-
cosC=0，∴cosC=0或
，
∵c＜a，∴只能去sinC=
，则C=
．
由余弦定理c2=a2+b2-2ab•cosC，
∴13=16+b2-8b•cos
，
化为b2-4b+3=0，解得b=1或b=3，
当b=3时，S=
ab sinC=
×4×3×sin
=3
．
当b=1时，S=
ab sinC=
×4×1×
=
．
（Ⅱ）由cosB＞cosC，可得C＞B，又A=
，
∴取cosC=0，解得C=
，∴B=
．
由a=
b，得
•
-2
•
-3
•
=
•
-3
•
=ac•cos
-3bc•cos
=-
ac+
bc=0．
| m |
| n |
| 3 |
∴2sinCcosC-
| 3 |
| ||
| 2 |
∵c＜a，∴只能去sinC=
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
由余弦定理c2=a2+b2-2ab•cosC，
∴13=16+b2-8b•cos
| π |
| 3 |
化为b2-4b+3=0，解得b=1或b=3，
当b=3时，S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
当b=1时，S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）由cosB＞cosC，可得C＞B，又A=
| π |
| 3 |
∴取cosC=0，解得C=
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
由a=
| 3 |
| AB |
| BC |
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
| AB |
| BC |
| CA |
| AB |
=ac•cos
| 5π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、余弦定理、余弦函数的单调性、三角形的内角和定理、直角三角形的边角关系、数量积定义，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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