Question

【题目】已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，.，若点M为的中点，则下列说法正确的个数为（ ）

（1）平面 （2）四棱锥的体积为12

（3）平面 （4）四棱锥外接球的表面积为

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

作出图象，根据相关知识即可判断各命题的真假．

作出图象，如图所示：，

对于（1），因为侧面平面，而底面为矩形，所以平面，即有，而，点M为的中点，所以，故平面，（1）正确；

对于（2），因为侧面平面，，所以点到平面的距离为，而点M为的中点，所以点到平面的距离为，故四棱锥的体积为，（2）正确；

对于（3），取中点，连接，所以，且，而，

故，且，因此四边形为梯形，所以与的延长线交于一点，故直线与平面相交，所以（3）不正确；

对于（4），根据四棱锥的侧面为直角三角形，底面为矩形，结合球的几何特征可知，四棱锥的外接球的球心在过底面的外心且与底面垂直的直线上，同样，四棱锥的外接球的球心在过侧面的外心(的中点)且与侧面垂直的直线上，所以四棱锥的外接球的球心即是底面的外心，外接球半径为，故四棱锥外接球的表面积为，（4）正确．

故选：C．