Question

9．证明：当a＞3时，关于x方程x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$有3个实数解．

Answer 1

分析 化简x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$可得（x-a）（x+a-$\frac{8}{ax}$）=0，从而判断方程的根的个数．

解答 证明：∵x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$，
∴x²+$\frac{8}{x}$-（a²+$\frac{8}{a}$）=0，
即（x-a）（x+a-$\frac{8}{ax}$）=0，
即（x-a）$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}x-8}{ax}$=0，
即∵△=（a²）²-4×a×（-8）=a⁴+32a，
∵a＞3，∴△＞0；
∴ax²+a²x-8=0有两个不同的根，
又∵当x=a时，ax²+a²x-8=2a³-8＞0，
故（x-a）$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}x-8}{ax}$=0有三个不同的根，
故当a＞3时，关于x方程x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$有3个实数解．

点评 本题考查了方程的化简与运算，同时考查了整体思想与转化思想的应用．