Question

20．已知$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，若$\overrightarrow a-\overrightarrow c$与$\overrightarrow b-\overrightarrow c$的夹角为60°，则$|{\overrightarrow c}|$的最大值为$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 利用向量的数量积公式得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=60°，以∠AOB的角平分线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求出C点的轨迹方程$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}=1$，求圆上点到原点的最大距离得到$|{\overrightarrow c}|$的最大值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=1，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=60°，
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，
以∠AOB的角平分线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$），B（$\sqrt{3}$，-1），设C（x，y），
cos＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$＞=$\frac{（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）（x-\sqrt{3}）+（y-\frac{1}{2}）（y+1）}{\sqrt{（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}}•\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y+1）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
整理得$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}=1$，
∴C点的轨迹为圆，圆心坐标为（$\sqrt{3}$，0），
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，其最大值为1+$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 本题考查了向量的数量积公式，向量的坐标运算的应用，应用数形结合思想求解是解答本题的通法，是中档题．