Question

1．（1）若关于x的不等式（a-1）x²+（a-1）x+1＞0恒成立，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式（a-1）x²+（a-1）x+1＜0恒成立，你能求出实数a的取值范围吗？

Answer 1

分析 （1）由于二次项系数含有参数，故应分类讨论，当a≠1时，结合函数的图象可知：a-1＞0且△＜0，从而可求实数a的取值范围．
（2）分类讨论，当a≠1时，结合函数的图象可知：a-1＜0且△＜0，从而可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=1，不等式可化为1＞0，显然对一切实数x恒成立；
若a≠1，只需a-1＞0且△=（a-1）²-4（a-1）＜0，解得1＜a＜5，
综上可知：实数a的取值范围是1≤a＜5．
（2）若a=1，不等式可化为1＞0，显然不成立；
若a≠1，只需a-1＜0且△=（a-1）²-4（a-1）＜0，不成立，
综上可知：实数a取值范围是∅．

点评 本题以不等式为载体，考查恒成立问题，关键是利用二次函数的图象研究二次不等式问题，应注意分类讨论．