Question

1．在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，AA₁＞AB，堑堵的顶点C₁到直线A₁C的距离为m，C₁到平面A₁BC的距离为n，则$\frac{m}{n}$的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• C． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$）
• D． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 设AB=1，AA₁=a，用a表示出m，n，得出$\frac{m}{n}$关于a的函数，根据a的范围可求出$\frac{m}{n}$的范围．

解答 解：设AB=BC=1，则AC=A₁C₁=$\sqrt{2}$，设AA₁=a，则CC₁=a，
∴A₁C=$\sqrt{{a}^{2}+2}$，
∴C₁到直线A₁C的距离m=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}•C{C}_{1}}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$，
∵B₁C₁∥BC，BC?平面A₁BC，B₁C₁?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC，
∴C₁到平面A₁BC的距离等于B₁到平面A₁BC的距离，
∴V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}BC}•n$，
∵BC⊥AB，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴BC⊥A₁B，∴S${\;}_{△{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}•BC•{A}_{1}B$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{2}$，
又VV${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}BC}$=V${\;}_{C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AB{B}_{1}}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×a×1$=$\frac{a}{6}$，
∴$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{2}$•n=$\frac{a}{6}$，∴n=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$．
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{{a}^{2}+1}}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$=$\sqrt{\frac{2{a}^{2}+2}{{a}^{2}+2}}$=$\sqrt{2-\frac{2}{{a}^{2}+2}}$．
∵AA₁＞AB，∴a＞1，
∴0＜$\frac{2}{{a}^{2}+2}$＜$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜$\sqrt{2-\frac{2}{{a}^{2}+2}}$$＜\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，空间距离的计算，属于中档题．