Question

12．若函数f（x）=4^x+a•2^x+a+1在R上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是a=2-2$\sqrt{2}$或a≤-1．

Answer 1

分析 利用换元法结合指数函数的性质转化为y=t²+a•t+a+1=0，只有一个正根，根据一元二次函数和一元二次方程之间的性质进行求解即可．

解答 解：f（x）=4^x+a•2^x+a+1=（2^x）²+a•2^x+a+1，
设t=2^x，则t＞0，
则函数等价为y=t²+a•t+a+1，若函数f（x）=4^x+a•2^x+a+1在R上有且只有一个零点，等价为y=t²+a•t+a+1=0，只有一个正根，
若判别式△=0，则a²-4（a+1）=0，且t=-$\frac{a}{2}$＞0，
即a²-4a-4=0，且a＜0，
得a=2+2$\sqrt{2}$（舍）或a=2-2$\sqrt{2}$，
若判别式△＞0，设h（t）=t²+a•t+a+1，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{-\frac{a}{2}＜0}\\{f（0）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{-\frac{a}{2}≥0}\\{f（0）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2+2\sqrt{2}或a＜2-2\sqrt{2}}\\{a＞0}\\{a＜-1}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2+2\sqrt{2}或a＜2-2\sqrt{2}}\\{a≤0}\\{a≤-1}\end{array}\right.$，②
①无解，②得a≤-1，
综上a=2-2$\sqrt{2}$或a≤-1，
故答案为：a=2-2$\sqrt{2}$或a≤-1

点评 本题考查函数的零点与对应的方程的跟的关系，函数的零点就是对应方程的根．注意换元法的应用．