Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y²=4x，设点A（-t，0），B（t，0）（t＞0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，（P在Q的上方）．
（1）若t=1，直线PQ的倾斜角为$\frac{π}{4}$，求直线PA的斜率；
（2）求证：∠PAO=∠QAO．

Answer 1

分析 （1）由题意写出直线PQ的方程，和抛物线联立，求得P的坐标，代入斜率公式得答案；
（2）设直线PQ的方程为x=my+t，联立直线方程和抛物线方程求得P，Q的坐标，由斜率公式求得k_PA=-k_QA，从而得到∠PAO=∠QAO．

解答 （1）解：若t=1，直线PQ的倾斜角为$\frac{π}{4}$，则直线PQ的方程为y=x-1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得P（$3+2\sqrt{2}，2+2\sqrt{2}$），
∵A（-1，0），∴直线PA的斜率${k}_{PA}=\frac{2+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}-（-1）}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）证明：∵直线PQ过点B（t，0），且与抛物线相交于P，Q两点，
∴可设直线PQ的方程为x=my+t，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+t}\end{array}\right.$，得y²-4my-4t=0．
解得：y=2m$±2\sqrt{{m}^{2}+t}$，
于是P（$2{m}^{2}+2m\sqrt{{m}^{2}+t}+t，2m+2\sqrt{{m}^{2}+t}$），
Q（$2{m}^{2}-2m\sqrt{{m}^{2}+t}+t，2m-2\sqrt{{m}^{2}+t}$），
∴直线PA的斜率${k}_{PA}=\frac{2m+2\sqrt{{m}^{2}+t}}{2{m}^{2}+2m\sqrt{{m}^{2}+t}+t-（-t）}$=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+t}}{{m}^{2}+m\sqrt{{m}^{2}+t}+t}=\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+t}}$，
同理，直线QA的斜率${k}_{QA}=\frac{2m-2\sqrt{{m}^{2}+t}}{2{m}^{2}-2m\sqrt{{m}^{2}+t}+t-（-t）}=-\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+t}}$，
可得k_PA=-k_QA，则：∠PAO=∠QAO．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．