Question

14．“Z=$\frac{1}{sinθ+cosθ•i}$-$\frac{1}{2}$（其中i是虚数单位）是纯虚数．”是“θ=$\frac{π}{6}$+2kπ”的（　　）条件．

• A． 充分不必要
• B． 必要不充分
• C． 充要
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 Z=$\frac{1}{sinθ+cosθ•i}$-$\frac{1}{2}$=sinθ$-\frac{1}{2}$-icosθ（其中i是虚数单位）是纯虚数．可得sinθ$-\frac{1}{2}$=0，cosθ≠0，解出θ即可判断出结论．

解答 解：Z=$\frac{1}{sinθ+cosθ•i}$-$\frac{1}{2}$=sinθ$-\frac{1}{2}$-icosθ（其中i是虚数单位）是纯虚数．
则sinθ$-\frac{1}{2}$=0，cosθ≠0，
解得：θ=2kπ+$\frac{π}{6}$或θ=2kπ+π+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∴Z=$\frac{1}{sinθ+cosθ•i}$-$\frac{1}{2}$（其中i是虚数单位）是纯虚数．”是“θ=$\frac{π}{6}$+2kπ”的必要不充分条件．
故选：B．

点评 本题考查了复数的运算法则、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．