Question

9．已知函数f（x）=sinx-x，则不等式f（x+2）+f（1-2x）＜0的解集是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{3}）$
• B． $（-\frac{1}{3}，+∞）$
• C． （3，+∞）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数f（x）是定义在R上的奇函数，对f（x）求导可得f'（x）=cosx-1≤0，即可得f（x）=sinx-x是减函数，则不等式f（x+2）+f（1-2x）＜0可以转化为x+2＞2x-1，解可得x的范围，即可得答案．

解答 解：函数f（x）=sinx-x，其定义域为R，且f（-x）=sin（-x）-（-x）=-（sinx-x），
则函数f（x）是定义在R上的奇函数，
导函数是f'（x）=cosx-1≤0，所以f（x）=sinx-x是减函数，
不等式f（x+2）+f（1-2x）＜0⇒f（x+2）＜f（2x-1），
即x+2＞2x-1⇒x＜3，
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性．