Question

（08年宣武区质量检一）（14分）

根据定义在集合A上的函数y=，构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①     输入数据，计算出；

②     若，则数列发生器结束工作；

若，则输出，并将反馈回输入端，再计算出。并依此规律继续下去。

现在有，。

（1）       求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；

（2）       若，记，求数列的通项公式；

（3）       在（2）得条件下，证明。

Answer 1

解析：（1）当，即时，由，可知，

又

，即

故对任意 有，

由 有，

 有；

以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列………………4分

（2）由，可得，

，

即。

令，则，

又，

所以是以为首项，以为公比的等比数列。

，即=+1……………………………………..9分

（3）要证，即证，只需证，

当时，

有，

因为，当时，

由。

所以，当时

        <1+1+

又当m=1时，

所以对于任意，都有

所以对于任意，都有……………………………………..14分