Question

（08年宣武区质量检一）（13分）

    如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，

AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB

（1）       求证：AB平面PCB；

（2）       求异面直线AP与BC所成角的大小；

（3）       求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。

Answer 1

解析：解法一：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，

PCAB，

CD平面PAB，AB平面PAB，

CD AB。又，

AB 平面PCB                  ………………………………………4分

（2）过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF、FC，

则为异面直线PA与BC所成的角。

由（1）可得AB BC，CF AF，

有三垂线定理，得PF AF，则AF=CF=，

PF=。

在Rt中，，

异面直线PA与BC所成的角为 ………………………………………… 8分

（3）取AP的中点E，连结CE、DE

PC=AC=2，CEPA，CE=

CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA，

为二面角C-PA-B的平面角

由（1）AB 平面PCB ，又AB=BC，可得BC=

在Rt中，PB=，CD=

在Rt中，

二面角C-PA-B大小的余弦值为 ……………………………………..13分

解法二：（1）同解法一 ………………………………………………………4分

（2）由（1）AB 平面PCB  ，PC=AC=2，

又AB=BC， 可求得BC=

以B为原点，如图建立空间直角坐标系，

则A（0，，0），B（0，0，0）， C（，0，0）

P（，0，2）

=（，-，2），=（，0，0）

则=+0+0=2

异面直线AP与BC所成的角为………………………………………………8分

（3）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）

=（0，-，0），=（，-，0）

则，即，得m=（，0，-1）

设平面PAC的法向量为n=（x，y，z）

=（0，0，-2），=（，-，0），则，即

得n=（1，1，0）

Cos<m,n>=

二面角C-PA-B大小的余弦值为 ……………………………………..13分