Question

四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC与BD交于点O．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB=2，求点O到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先利用四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC与BD交于点O，得到：OP⊥AC，AC⊥BD
进一步得到：AC⊥平面PBD，PB?平面PBD，所以：PB⊥AC
（2）利用（1）的部分结论：平面PAC⊥平面ABCD，OP⊥平面ABCD，进一步求得：OP=

3

  AC=2

3

  AO=CO=

3

，利用V_P-OBC=V_O-PBC，求得：O到平面PBC的距离．

解答：
（1）证明：连结OP，
因为四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC与BD交于点O
所以：OP⊥AC，AC⊥BD
AC⊥平面PBD
PB?平面PBD
所以：PB⊥AC
（2）解：平面PAC⊥平面ABCD，
OP⊥平面ABCD
∵∠ABC=60°，PB=AB=2
∴OP=

3

  AC=2

3

  AO=CO=

3

∴进一步得到△PBC为等边三角形
所以：V_P-OBC=V_O-PBC 
设点O到平面PBC的距离为h
∴

1

3

•

1

2

•1•

3

•

3

=

1

3

•

1

2

•2•2•

3

2

h
h=

3

2

点评：本题考查的知识要点：线线垂直与线面垂直的转化，线面垂直的判定和性质，面面垂直的性质，利用几何体的体积相等等相关的运算问题．