Question

19．已知函数$f（x）=3si{n^2}（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinxcosx-\frac{1}{2}{cos^2}x$
（1）求函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值与最小值；
（2）已知$f（2{x_0}）=\frac{49}{20}$，x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{24}$），求cos4x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值；
（2）利用$f（2{x_0}）=\frac{49}{20}$，x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{24}$），代入化简，找出与cos4x₀的值关系，可求解．

解答 解：函数$f（x）=3si{n^2}（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinxcosx-\frac{1}{2}{cos^2}x$
化简可得：3$（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{3}））$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x）$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$cos2x×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{5}{4}$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$．
∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$上，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]．
函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为$\frac{13}{4}$，最小值为$\frac{1}{4}$．
（2）∵$f（2{x_0}）=\frac{49}{20}$，即2sin（4x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$=$\frac{49}{20}$
?sin（4x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$
∵x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{24}$），
4x₀-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴cos（4x₀-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{4}{5}$．
cos4x₀=cos[4x₀-$\frac{π}{6}$）$+\frac{π}{6}$]=cos（4x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（4x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（-\frac{4}{5}）$-$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．