Question

已知：an=logn+1(n+2)(n∈N*)，观察下列运算：a1•a2=lo

g

3 2

•lo

g

4 3

=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

=2，a1•a2•a3•a4•a5•a6=lo

g

3 2

•lo

g

4 3

•…•lo

g

7 6

•lo

g

8 7

=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•…•

lg7

lg6

•

lg8

lg7

=3则当a₁•a₂•…•a_k=2012时，自然数k为（　　）

Answer 1

分析：利用对数的运算性质，化简a₁•a₂•…•a_k，即可求得结论．

解答：解：∵an=logn+1(n+2)(n∈N*)，
∴a₁•a₂•…•a_k=lo

g

3 2

•lo

g

4 3

•…•lo

g

7 6

•lo

g	(k+2) (k+1)

=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•…•

lg7

lg6

•

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

∵a₁•a₂•…•a_k=2012
∴

lg(k+2)

lg2

=2012
∴k+2=2²⁰¹²
∴k=2²⁰¹²-2
故选C．

点评：本题考查类比推理，考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档题．