Question

（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，，．

（1）当时，求异面直线与所成角的大小；

（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．

Answer 1

（1）（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用空间向量求异面直线所成角，关键明确各点坐标，利用空间向量数量积求夹角：，又异面直线与所成角不为钝角，所以异面直线与所成角为．（2）利用空间向量表示线面角，关键求出平面的法向量，再利用直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面法向量所成角余弦值的绝对值求解. 平面的法向量满足，且．所以，，解得

试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）因为AB=AC=1，3，，

所以各点的坐标为,，，．

，． 2分

因为,，

所以．所以向量和所成的角为，

所以异面直线与所成角为． 4分

（2）因为，，所以．

设平面的法向量为，

则，且．

即，且．令，则．

所以是平面的一个法向量． 6分

又，则，

又因为直线与平面所成角的正弦值为，

所以，解得，． 10分

考点：利用空间向量求线线角、线面角