Question

（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，，.

（1）求证：；

（2）点E是棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、点到面的距离等基础知识，同时考查分析问题解决问题的能力、推理论证能力、运算求解能力. 第一问，利用线面垂直“PA⊥底面ABCD”的性质可得PA⊥CD，而PC⊥CD，则利用线面垂直的判定可得CD⊥平面PAC，所以CD垂直于面PAC内的线；第二问，由于为等腰三角形，所以AE⊥PC，且，利用第一问中的结论，可知AE⊥CD，利用线面垂直的判定得AE⊥平面PCD，作辅助线CF⊥DE，则可得CF⊥平面EAD，从而可判定CF即为点C到面EAD的距离，在中解出CF的长即可.

试题解析：（Ⅰ）证明：

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，

因为∠PCD＝90，所以PC⊥CD，

所以CD⊥平面PAC，

所以CD⊥AC． …4分

（Ⅱ）因为PA＝AB＝AC＝2，E为PC的中点，所以AE⊥PC，．

由（Ⅰ）知AE⊥CD，所以AE⊥平面PCD．

作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，则CF⊥平面EAD．

因为BC∥AD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，

CF即为点C到平面EAD的距离． …8分

在Rt△ECD中，．

所以，点B到平面EAD的距离为． …12分

考点：线线垂直、线面垂直、点到面的距离.