Question

已知函数（其中是自然对数的底数），，．

（1）记函数，且，求的单调增区间；

（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）和；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用导数求函数单调性：先求函数导数，再解不等式得或，从而的单调增区间为和，（2）解决不等式恒成立问题，关键在于转化：先根据单调性去绝对值，设，根据在上单调递增，所以有对恒成立，再根据绝对值不等式化简为

对，恒成立，整理为

对，恒成立，即和在都是单调递增函数，最后根据函数最值求的取值范围

试题解析：（1）因为，

所以， 2分

令，因为，得或， 5分

所以的单调增区间为和； 6分

（2）因为对任意且，均有成立，

不妨设，根据在上单调递增，

所以有对恒成立， 8分

所以对，恒成立，

即对，恒成立，

所以和在都是单调递增函数， 11分

当在上恒成立，

得在恒成立，得在恒成立，

因为在上单调减函数，所以在上取得最大值，

解得． 13分

当在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

因为在上递减，在上单调递增，

所以在上取得最小值，

所以， 15分

所以实数的取值范围为． 16分

考点：利用导数求函数单调区间，不等式恒成立问题