Question

已知函数f（x）=

ax

x2-1

的定义域为[-

1

2

，

1

2

]，（a≠0）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用定义f（-x）=-f（x），可证明函数是奇函数
（2）设-

1

2

≤x₁＜x₂≤

1

2

，利用单调性的定义证明，函数是增函数；
（3）利用第（2）问的结论：f（x）是单调函数，函数的最值在端点处取得．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

-ax

x2-1

=-f（x），∴f（x）为奇函数．
（2）设-

1

2

≤x₁＜x₂≤

1

2

，
f（x₁）-f（x₂）=

ax1

(x2)2-1

-

ax2

(x2)2-1

=

a(x2-x1)(x1x2+1)

[(x1)2-1][(x2)2-1]

，
若a＞0，则由于(x1)2-1＜0，(x2)2-1＜0，x₂-x₁＞0，x₁x₂+1＞0．
∴

a(x2-x1)(x1x2+1)

[(x1)2-1][(x2)2-1]

＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）即f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是减函数
若a＜0，同理可得，f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函数．
（3）当a＞0时，由（2）知f（x）的最大值为f（-

1

2

）=

2

3

a．
当a＜0时，由（2）知f（x）的最大值为f（

1

2

）=-

2

3

a．

点评：本题主要考查函数的性质，利用定义证明函数的单调性与奇偶性是高中数学的基础．