Question

已知⊙O：x²+y²=4的两条弦AB，CD互相垂直，且交于点M（1，

2

），则AB+CD的最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：由于直线AB、CD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．

解答： 解：当AB的斜率为0或不存在时，可求得AB+CD=2（

2

+

3

）
当AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y-

2

=k（x-1），
直线CD的方程为y-

2

=-

1

k

（x-1），
由弦长公式可得：AB²=4•

3k2+2 2 k+2

k2+1

，CD²=

2k2-2 2 k+3

k2+1

，
∴AB²+CD²=20
∴（AB+CD）²=AB²+CD²+2AB×CD≤2（AB²+CD²）=40
故AB+CD≤2

10

，即AB+CD的最大值为2

10

．
故答案为：2

10

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线方程的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想与计算能力．