Question

14．已知函数$f（x）=cosx•sin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}，x∈R$．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）求f（x）的图象在y轴右侧第二个最高点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角恒等变换化简f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），从而求出f（x）的最大值即可；
（Ⅱ）根据函数的表达式得到$x=kπ+\frac{5π}{12}（{k∈Z}）$，令k=1，得$x=\frac{17π}{12}$，从而得到满足条件的点的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由已知，有f（x）=cos x•（$\frac{1}{2}$sin x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos x）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin x•cos x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin 2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（1+cos 2x）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$ 
=$\frac{1}{4}$sin 2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos 2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
所以f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$；  
（Ⅱ）令2x-$\frac{π}{3}$=$2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，
得$x=kπ+\frac{5π}{12}（{k∈Z}）$，
令k=1，得$x=\frac{17π}{12}$．
所以f（x） 的图象在y轴右侧第二个最高点的坐标是$（{\frac{17π}{12}，\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查了三角函数的化简问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．